पाँच अंकों की वे सभी संख्याएँ जिनमें प्रत्येक उत्तरोत्तर अंक अपने पूर्ववर्ती से बड़ा है,उन्हें उनके परिमाण के बढ़ते क्रम में व्यवस्थित किया गया है। सूची में $97^{\text{वीं}}$ संख्या में कौन सा अंक नहीं है?

एक संस्थान के भाषाई क्लब में $6$ लड़कियाँ और $4$ लड़के हैं। इस समूह से $4$ सदस्यों की एक टीम का चयन किया जाना है,जिसमें टीम के लिए एक कप्तान (इन $4$ सदस्यों में से) का चयन भी शामिल है। यदि टीम में अधिकतम एक लड़का शामिल हो,तो टीम के चयन के तरीकों की संख्या क्या है?

एक बक्से में $2$ सफेद गेंदें,$3$ काली गेंदें और $4$ लाल गेंदें हैं। यदि कम से कम एक काली गेंद को ड्रा में शामिल करना हो,तो बक्से से $3$ गेंदें कितने तरीकों से निकाली जा सकती हैं?

एक समूह में $4$ लड़कियाँ और $7$ लड़के हैं। यदि टीम में कम से कम $3$ लड़कियाँ हों,तो $5$ सदस्यों की एक टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है?

एक गाँव में $10$ खिलाड़ी हैं। $6$ खिलाड़ियों की एक टीम बनाई जानी है। इन $10$ खिलाड़ियों में से $5$ सदस्यों को चुना जाता है और फिर शेष $5$ खिलाड़ियों में से कप्तान चुना जाता है। ऐसी टीम चुनने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

यदि $\binom{n-1}{4}$,$\binom{n-1}{5}$,और $\binom{n-1}{6}$ समांतर श्रेणी में हैं,तो $n$ ज्ञात कीजिए।